1. Een formule om de tweede orde afgeleide f¢¢(x) te benaderen is

   Th(x) = -f(x-2h)+16f(x-h)-30f(x)+16f(x+h)-f(x+2h) 12h2 .

   1. Bepaal de orde van de afbreekfout van deze formule.
   2. Neem f(x) = e^x en h = 0.01. Bepaal T_h(1) met zo veel mogelijk cijfers. Hoe groot is f¢¢(1)-T_h(1)?
   3. Als f in een tabel gegeven is, dan de bevatten de tabelwaarden [^(f)](x) afrondfouten. Neem aan |[^(f)](x) - f(x)| < e. Hoe groot is |[^(T)]_h(x) - T_h(x)|?
   4. Gegeven de volgende tabel (in 6 cijfers nauwkeurig):

      x	ex
      0.98	2.66445
      0.99	2.69123
      1	2.71828
      1.01	2.74560
      1.02	2.77319

      Geef met behulp van het antwoord in (c) een schatting van de afrondfout in [^(T)]_h(1) voor h = 0.01. Bepaal |[^(T)]_h(1) - T_h(1)| en vergelijk dit met de schatting.

2. We beschouwen een beginwaardeprobleem y¢ = f(t,y), met y(0) = y₀. De RK₄ methode wordt gegeven door:

   ì ï ï ï ï ï ï ï ï ï í ï ï ï ï ï ï ï ï ï î k1 = hf(tj, uj)  , k2 = hf(tj+[1/2], uj+ 1 2 k1)  , k3 = hf(tj+[1/2], uj + 1 2 k2)  , k4 = hf(tj+1, uj + k3)  , uj+1 = uj + 1 6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)  .

   1. Laat zien dat de versterkingsfactor van RK₄ gelijk is aan:

      Q(hl) = 1 + hl+ (hl)2 2 + (hl)3 3! + (hl)4 4!   .

   2. Geef de orde van de afbreekfout van RK₄ voor de testvergelijking. Z.O.Z.
   3. Gegeven het beginwaardeprobleem:

      y¢¢+4y = 1,     y(0) = 1 en y¢(0) = 0.

      Schrijf deze vergelijking als een stelsel eerste orde differentiaalvergelijkingen. Is het stelsel differentiaalvergelijkingen stabiel?
   4. Als we RK₄ toepassen op dit stelsel en we nemen h = 1, is de RK₄ methode dan stabiel?

¹ voor de antwoorden zie: ../wi211/tentamen.html