Antwoorden Serie 1

Antwoorden Serie 1 (cursus 2001/2002)
wi2091/92: Numerieke Wiskunde

De fout is gelijk aan [((lh)³)/3!].
De antwoorden staan in de onderstaande tabel:

tijdstip y u fout
2 1 1 0
2.5 1.8333 1.8125 0.0208
3 2.5 2.4816 0.0184
De numerieke oplossing berekend met de methode van Euler is gelijk aan 0. Dit is niet in tegenspraak met de foutschatting. Uit de foutschatting volgt dat de fout kleiner moet zijn dan 0.5. Controle geeft y(0.1) - u(0.1) = [1/(e)] - 0 < 0.5.
Euler u₁ = 1 + h
Heun u₁ = 1 + h
Beide methoden geven hetzelfde antwoord omdat y(x) = x. Dit invullen in de foutschattingen geeft dat voor beide methoden de fout gelijk is aan 0.
De lokale afbreekfout is van de orde 3. Om dit te bewijzen maken we gebruik van de foutschatting van de Trapeziummethode voor numerieke integratie. Tussenresultaat is dan:

y_i+1-u_i+1 = h
2
[f(x_i+1,y_i+1) - f(x_i+1,u_i+1)]+O(h³).

Dit is gelijk aan:

y_i+1-u_i+1 = h
2
[ śf
śy
(y_i+1- u_i+1)] +O(h³).

Hieruit volgt:

y_i+1-u_i+1 = O(h³)
1- h
2
śf
śy
= O(h³).