Antwoorden Serie 6 (cursus 2001/2002)
wi2023: Numerieke Wiskunde
De eigenwaarden van de gegeven matrix zijn: 5.1249, 1.6367 en
0.2384.
Na drie
iteraties krijgen we voor de benadering
(x,Ax)/(x,x) = 5.0282.
Deze opgave geeft een alternatief voor Hotelling deflatie (paragraaf
3.4).
De matrix van het eerste orde stelsel wordt gegeven door
æ ç ç
ç è
0
1
0
0
0
1
-12
-19
-8
ö ÷ ÷
÷ ø
De eigenwaarde van deze matrix zijn: -1, -3 en -4. Uitgaande van de
beginvector (1,1,1) krijgen we voor de benadering
(x,Ax)/(x,x) :
-12.333, -7.22,
-5.44 enz.
We kunnen de relatie zien als de machtsmethode toegepast op de
matrix. De
matrix heeft eigenwaarde 1 en 0.7. Dus na verloop van tijd
convergeert de
oplossing naar de eigenvektor (2,1), die behoort bij eigenwaarde 1.
In theorie
zou de component van deze vector nul kunnen zijn, echter de
eigenvector bij
eigenwaarde 0.7 is (1,-1) zodat als je start met positieve
populaties de
component in de eerste eigenvector ongelijk aan nul moet zijn.