Behandelde begrippen

• Voorkennis: Taylor polynoom, numerieke integratie
• Methode van Euler, Heun, Runge-Kutta
• impliciet, expliciet, O-symbool
• lokale afbreekfout, efficiency

Opgaven

1. Laat zien dat de lokale afbreekfout van de methode van Heun O(h³) is voor de differentiaalvergelijking y¢ = ly.
2. Gebruik de methode van Heun om de oplossing te benaderen van het volgende beginwaardeprobleem: y¢ = 1+(t-y)²,   2 £ t £ 3,  y(2) = 1, met h = 0.5. De exacte oplossing wordt gegeven door y(t) = t+[1/(1-t)]. Bepaal de fout in de numerieke benadering.
3. Beschouw het beginwaardeprobleem: y¢ = -10y,   0 £ t £ 2,  y(0) = 1. De oplossing hiervan is y(t) = e^-10t. Pas de methode van Euler toe met stapgrootte h = 0.1. Is het resultaat in tegenspraak met Stelling 1.1?
4. Beschouw het beginwaardeprobleem: y¢ = y/x ,   1 £ x £ 2,  y(1) = 1. Voer 1 stap uit met de methode van Euler en Heun. Merk op dat de antwoorden hetzelfde zijn. Verklaring?
5. Voor het integreren van de differentiaalvergelijking y¢ = f(x,y),  y(x₀) = y₀ gebruikt men de trapeziumregel:

   ui+1 = ui + h 2 [f(xi,ui)+f(xi+1,ui+1)]

   Bepaal van deze methode de orde van de lokale afbreekfout door te vergelijken met de exacte oplossing:

   yi+1 = yi + xi+1 ó õ xi  f(x,y)dx

   Hint: f(x+h,y+k) = f(x,y)+h[(¶f)/(¶x)]+k[(¶f)/(¶y)]+O(h²+k²)
   (Tentamen 18-08-1998)

¹ informatie (oude tentamens etc.) over wi2023 is te vinden op het volgende internetadres: ../wi212tn/wi212tn.html