Behandelde begrippen

• stabiliteit, versterkingsfactor
• globale fout, schatting fout in de praktijk
• stelsels eerste orde beginwaardeproblemen, hogere orde beginwaardeproblemen
• stabiliteit voor stelsels, versterkingsmatrix

Opgaven

1. Geef de versterkingsfactor C(lh) voor de impliciete methode van Euler: u_i+1 = u_i +hf(x_i+1,u_i+1). Laat zien dat deze methode onvoorwaardelijk stabiel is (l < 0).
2. Gegeven het niet-lineaire beginwaardeprobleem: y¢ = 1+(t-y)². Geef de stabiliteitsvoorwaarde voor de methode van Heun in het punt t = 2 en y = 1.
3. Beschouw de vergelijking y¢ = -y met y(0) = 1. Bepaal de oplossing met de methode van Euler met stapgrootte h = 1: u₁ en met h = [1/2]: v₁, v₂. De fout wordt gegeven door Kh. Geef een schatting voor K en bepaal hiermee een schatting voor de fout in v₂. Bepaal ook de exacte fout in v₂. Doe dit ook voor w₄ met h = [1/4].
4. Voer één stap uit met de Euler methode met stapgrootte h = 0.1 voor het stelsel:

   u1¢ = -4u1-2u2+et,  u2¢ = 3u1+u2,

   met beginvoorwaarde u₁(0) = 0, en u₂(0) = -1. Voer één stap uit met de Euler methode met stapgrootte h = 0.2 voor het beginwaardeprobleem:

   y¢¢¢+2y¢¢-y¢-2y = et, y(0) = 1, y¢(0) = 2, y¢¢(0) = 0.

5. Beschouw de stelsels:

   u1¢ = 3u1+2u2,  u2¢ = 4u1+u2 en u1¢ = -4u1-2u2,  u2¢ = 3u1+u2

   Welke van deze stelsels is stabiel. Bepaal voor het stabiele stelsel de grootste stapgrootte waarvoor de methode van Heun nog stabiel is.
6. Geef de versterkingsfactor C(lh) van de trapeziumregel:

   ui+1 = ui + h 2 [f(xi,ui)+f(xi+1,ui+1)].

   Laat zien dat de methode stabiel is voor alle h > 0, ook wanneer de eigenwaarden complex zijn (Re(l) < 0).                                         (Tentamen 18-08-1998)

¹ de antwoorden staan op het volgende internetadres: ../wi212tn/answer2.html