Behandelde begrippen

• Crout methode, Choleski decompositie, positief definiet, Gerschgorin
• conditie, eigenwaarden, vectornorm, conditiegetal
• randwaardeprobleem, differentiemethode, globale fout

Opgaven

1. Gegeven

   A = æ ç ç ç ç è 2 1 0 2 2 1 0 0.5 1 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

   en

   æ ç ç ç è 2 1 2 2 ö ÷ ÷ ÷ ø = æ ç ç ç è 1 0 1 1 ö ÷ ÷ ÷ ø æ ç ç ç è 2 1 0 1 ö ÷ ÷ ÷ ø .

   Bepaal de matrices L en U zodanig dat LU = A (hint: gebruik de Crout methode).
2. Gegeven een tridiagonale matrix, dat wil zeggen dat alleen de elementen a_i,i-1,  a_i,i,  a_i,i+1 ongelijk aan nul zijn. Laat met behulp van de methode van Crout zien dat de LU ontbinding gegeven wordt door: u_1,1 = a_1,1, u_i,i+1 = a_i,i+1, l_i,i-1 = a_i,i-1/u_i-1,i-1 en u_i,i = a_i,i-l_i,i-1u_i-1,i. (Dit algoritme staat ook bekend als het Thomas algoritme)
3. Bepaal voor welke a onderstaande matrix positief definiet is

   æ ç ç ç è a 1 1 2 ö ÷ ÷ ÷ ø .

4. Gegeven A = (

   500	501
   501	500

   ). Bepaal A(

   1

   1

   ) en A(

   2

   0

   ). Verwacht u op grond van deze resultaten een groot ( > 100 ) of klein ( < 100 ) conditiegetal? Bepaal het conditiegetal.
5. Gegeven de differentiaalvergelijking

   - d2y dx2 + gy = 1,    0 £ x £ 1, met als randvoorwaarden y(0) = y(1) = 1.

   1. Bepaal het stelsel A u = b voor N=4, waaraan de numerieke oplossing moet voldoen.
   2. Laat zien dat de lokale afbreekfout O(h²) is.
   3. Voor g = 0 is gegeven dat A een Choleski ontbinding heeft. Laat zien dat A met g > 0 positief definiet is.

¹ voor de antwoorden zie: ../wi212tn/answer4.html