Oefenopgaven Serie 2 (cursus 2001/2002)
wi3097mt: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1
Behandelde begrippen
voorwaartse, achterwaartse en centrale differenties, hogere orde
afgeleide
afbreekfout, afrondfout, Richardson' s foutschatting
Methode van Euler, Trapeziumregel en Runge-Kutta methoden
impliciet, expliciet
Opgaven
Bewijs voor f Î C3[x-h,x+h], dat de afbreekfout bij centrale differenties
O(h2) is.
Stel dat de positie van een schip bepaald kan worden met een
meetfout van hoogstens 10 meter. Verder veronderstellen we dat de
werkelijke plaats van het schip tijdens het op gang komen geven wordt
door de functie S(t) = 0.5 at2, waarbij S in meters en t in
seconden uitgedrukt wordt. De snelheid wordt benaderd met een
achterwaartse differentie met stapgrootte h. Geef de afbreekfout en
de meetfout in deze formule. Als a = 0.004 bepaal dan de waarde van h
waarvoor de fout in de bepaalde snelheid minimaal is. Hoe groot is de
fout?
Gegeven f(x), f(x+h) en f(x+2h). Bepaal een formule om
f¢(x) te benaderen waarbij de fout minimaal is.
Gegeven de functie f(x) = sinx, x Î [0,p]. Bepaal
f¢(1) met
behulp van een centrale differentie voor h = 0.1. Geef een schatting
van
de fout via Richardson' s foutschatting.
Gebruik de Modified Euler methode om de oplossing te benaderen van het
volgende beginwaardeprobleem: y¢ = 1+(t-y)2, 2 £ t £ 3, y(2) = 1, met h = 0.5. De exacte oplossing wordt gegeven door
y(t) = t+[1/(1-t)]. Bepaal de fout in de numerieke benadering.
Laat zien dat de lokale afbreekfout bij de midpuntregel O(h2)
is. De midpuntregel wordt gegeven door: