Oefenopgaven Serie 3 (cursus 2001/2002)

Oefenopgaven Serie 3 (cursus 2001/2002)
wi3097mt: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen
1

Behandelde begrippen

Opgaven

  1. Bepaal de versterkingsfactor voor de Trapeziumregel. Schat hiermee de afbreekfout voor de testvergelijking. Laat zien dat de Trapeziumregel stabiel is voor alle h > 0, als l £ 0.
  2. Gegeven het niet-lineaire beginwaardeprobleem: y¢ = 1+(t-y)2. Geef de stabiliteitsvoorwaarde voor de methode van Modified Euler in het punt t = 2 en y = 1.
  3. Gegeven is de numerieke integratiemethode:
    u* = un + bh f(tn,un),    un+1 = u* + (1-b) h f(tn+bh, u* )

    1. Laat zien, dat de afbreekfout O(h) is voor elke waarde van b.
    2. Bepaal de versterkingsfactor van deze methode.
    3. Beschouw de niet-lineaire differentiaalvergelijking: y¢ = 2y-4y2. Bepaal de maximale stapgrootte zodanig, dat de methode (met b = [1/2]) stabiel is in de buurt van y = [1/2].

  4. Voer een stap uit met de voorwaartse Euler methode met stapgrootte h = 0.1 voor het stelsel:
    u1¢ = -4u1-2u2+et,
    u2¢ = 3u1+u2,
    met beginvoorwaarde u1(0) = 0 en u2(0) = -1.
  5. Doe één stap met voorwaarts Euler voor de vergelijking y¢¢-2y¢+y = tet-t met y(0) = y¢(0) = 0 met stapgrootte h = 0.1. Bepaal de fout met de echte oplossing: y(t) = [1/6]t3et-tet+2et-t-2.
  6. Stel we hebben de vergelijking voor de mathematische slinger: f¢¢+ [(g)/(L)] f = 0 met f(0) = f¢(0) = 0. Schrijf dit als een stelsel. Is dit stelsel stabiel?

1 voor de antwoorden zie: ../wi3097/answer3.html