Behandelde begrippen

• numerieke stabiliteit bij stelsels differentiaalvergelijkingen, stabiliteitsgebied
• stijve stelsels differentiaalvergelijkingen
• norm vector, norm matrix, conditiegetal, Gershgorin, randwaarde problemen

Opgaven

1. Gegeven het stelsel y₁¢ = 1195y₁ - 1995 y₂,    y₁(0) = 2,      y₂¢ = 1197y₁ - 1997 y₂,    y₂(0) = -2. De exacte oplossing wordt gegeven door y₁(t) = 10 e^-2t - 8 e^-800t,  y₂(t) = 6e^-2t - 8 e^-800t.

   1. Doe één stap met E.V. en E.A. met h = 0.1 en vergelijk met het exacte antwoord.
   2. Bepaal voor welke stapgrootte E.V. stabiel is.
   3. Doe één stap met E.V. en E.A. met h = 0.0001 en vergelijk met het exacte antwoord. Conclusie?

2. Gegeven de differentiaalvergelijking y¢ = y-t²+1 en y(0) = [1/2]. Benader y(0.1) = 0.6574145 met E.V. met h = 0.025 en de RK methode met h = 0.1. Welke methode verdient de voorkeur?
3. Gegeven de matrices A₁ en A₂:

   A1 = æ ç ç ç è 2 1 1 2 ö ÷ ÷ ÷ ø en A2 = æ ç ç ç è 100 99 99 100 ö ÷ ÷ ÷ ø

   Bepaal van beide matrices het conditiegetal. Bepaal de oplossing van A₂ x = b waarbij b = (199,199). Neem Db = (1,0). Schat ||Dx|| met behulp van het conditiegetal. Bepaal Dx en vergelijk ||Dx|| met de schatting.
4. Gegeven het randwaarde probleem

   y¢¢(x) = 2(y(x)-x),   x Î [0,1], y(0) = 0, y(1) = 0.

   1. Discretisatie geeft het volgende stelsel vergelijkingen A u = b. Geef A en b.
   2. Geef een schatting voor de grootste en de kleinste eigenwaarde van A.
   3. Geef een schatting van [(||Du||)/(||u||)] als [(||Db||)/(||b||)] £ 10^-4.

¹ voor de antwoorden zie: ../wi3097/answer4.html