Behandelde begrippen

• Newton Raphson, niet-lineaire stelsels, niet-lineair randwaarde probleem
• numerieke integratie, afbreekfout, afrondfout, gerepeteerde integratieregels

Opgaven

1. We gaan een methode afleiden voor het bepalen van een nulpunt van f gebaseerd op interpolatie.

   1. Stel er zijn twee startwaarden gegeven p₀ en p₁. Bepaal het lineaire interpolatiepolynoom van de functie f.
   2. Neem voor p₂ het punt waar het interpolatiepolynoom de x-as snijdt.
   3. Doe 2 iteraties met de deze methode voor de functie f(x) = x²-2 met p₀ = 1 en p₁ = 2.

2. Gegeven de functie f(x) = x-cosx, x Î [0, [(p)/2]]. Bepaal met behulp van de Newton-Raphson methode een benadering van de oplossing met een fout kleiner dan 10^-4.
3. Doe twee iteraties met de Newton-Raphson methode met startvector (1,1) om het volgende niet-lineaire stelsel op te lossen: x₁² - x₂ -3 = 0 en -x₁ + x₂² +1 = 0 . Vergelijk de benadering met de exacte oplossing (2,1).
4. Opgaven uit het boek: p.74-75 opgave 1, 5 en 20; p. 617-620 opgave 1a, 10.
5. We willen de volgende integraal bepalen:

   1 ó õ -1  (10x)3 + 0.001 dx.

   1. De relatieve afrondfout in de functiewaarden is kleinder dan e. Bepaal de relatieve fout in de integraal ten gevolge van de afrondfouten.
   2. We nemen de gerepeteerde midpuntregel als numerieke integratie methode en e = 4*10^-8. Geef een redelijke waarde voor de stapgrootte h.

6. Bepaal ò_0.5¹ x⁴ dx met de Trapeziumregel. Schat de fout en vergelijk deze schatting met de echte fout. Bereken de integraal ook met de gerepeteerde Trapeziumregel met h = 0.25. Schat de fout met Richardson' s foutschatting.
7. Opgaven uit het boek: p. 203-205 opgave 1a, 9, 18, 19.

¹ voor de antwoorden zie: ../wi3097/answer6.html